Tensores integrais em álgebras de Hopf

Abstract

O estudo de álgebras de Hopf foi iniciado por Heinz Hopf em 1941, como uma estrutura na topologia algébrica. Uma álgebra de Hopf H é uma álgebra sobre um corpo | tal que H tem uma estrutura dual compatível (dita coálgebra) e um antiendomorfismo S que generaliza a ideia de inversão multiplicativa. Os tensores integrais das álgebras de Hopf estão intimamente relacionados com a sua estrutura algébricas. Esta estrutura é uma peça chave de um programa de pesquisa para a classificação das álgebras de Hopf, eles são um ingrediente de grande importância na topologia quântica das variedades tridimensionais. Nesta dissertação, estudamos algumas construções de álgebras de Hopf e algumas classes de exemplos consagradas tais como a álgebra de um grupo, o envelope de uma álgebra de Lie, e alguns grupos quânticos. Também estudamos a estrutura dos tensores integrais em álgebras de Hopf e verificamos alguns teoremas notáveis e cálculos diagramáticos sobre eles baseando-nos nos trabalhos de David Radford e Greg Kuperberg dentre outros. Em particular, discutimos a reconstrução da estrutura de uma álgebra de Hopf involutória (S2 = I) a partir dos tensores traço e cotraço. Para explicarmos estes temas, fizemos uma apresentação da estrutura categórica (diagramática) subjacente e ao conceito de traço quântico aqui empregado.