Cotas para o número de ordens cúbicas C₃ com discriminante limitado

Abstract

O objetivo principal deste trabalho é demonstrar a veracidade da versão moderna da fórmula para contagem de ordens cúbicas com grupo de automorfismo cíclico de ordem 3 e discriminante limitado (apresentada por Manjul Bhargava), tendo como base a fórmula clássica de Harold Davenport. Para isso, são introduzidas algumas noções básicas da teoria algébrica dos números (discriminante, reticulados, norma de ideais, homomorfismo de Minkowski). Ainda, são apresentadas as noções de hessiana e shape, a fim de demonstrar a correspondência de Delone-Faddeev para relacionar anéis cúbicos com formas binárias cúbicas. Por fim, apresentamos a noção de forma binária quadrática reduzida, e a estudamos no caso particular da hessiana de uma forma binária cúbica munida de um automorfismo de ordem 3. Este estudo é aplicado na contagem assintótica das ordens cúbicas com grupo de automorfismo cíclico de ordem 3. No Apêndice é apresentado o trabalho computacional a fim de detalhar o isomorfismo (nada óbvio) entre anéis cúbicos e formas binárias cúbicas.