Análise de convergência de uma classe de autômatos celulares probabilísticos com interação não local

Abstract

Estudamos uma classe de autômatos celulares probabilísticos com interação não local. Cada componente pode assumir estado zero ou um e possui dois vizinhos. Se seus vizinhos têm igual estado, então a componente assume o mesmo estado de seus vizinhos. Quando os seus vizinhos tem estados distintos, temos: se o vizinho da direita está no estado um, então a componente assume o estado um com probabilidade 𝛼 ou o estado zero com probabilidade 1 – 𝛼; se o vizinho da direita está no estado zero, então a componente assume o estado um com probabilidade 𝛽 ou o estado zero com probabilidade 1 – 𝛽. Consideramos um conjunto de medidas iniciais do nosso processo. Para estas medidas, provamos que o processo sempre converge fracamente para a medida concentrada na configuração cujo todas as componentes tem estado zero. Mostramos que o tempo médio desta convergência apresenta um tipo de transição de fase. Numa direção, se 𝛼 ≥ 1 – 𝛽, então este tempo médio é infinito; na outra direção, se 𝛼 < 1 – 𝛽 e a distância entre os vizinhos é de uma unidade, então este tempo médio é finito. Neste caso, obtemos um limite superior para o tempo médio de convergência, o qual é uma função linear da medida inicial. Por meio dos nossos resultados, foi possível estabelecer novas características em alguns processos conhecidos na literatura. Também apresentamos algumas análises numéricas do nosso processo.