Construção de autovetores de transformadas trigonométricas discretas baseada em matrizes geradoras

Abstract

Transformadas discretas são ferramentas bem conhecidas e que desempenham um papelimportante em diversas aplicações de Engenharia e, em particular, de Processamento Digital de Sinais. O cálculo de uma transformada pode ser representado pelo produto entre a respectiva matriz de transformação e o vetor cuja transformada se deseja obter. Nas últimas décadas, diversas propriedades relacionadas às autoestruturas dessas matrizes têm sido investigadas; mais especificamente, têm sido propostos métodos para construir autovetores dessas matrizes, os quais podem ser empregados, por exemplo, na definição de versões fracionárias das respectivas transformadas. Nesta dissertação, são propostas metodologias baseadas em matrizes geradoras para construção de autovetores de transformadas trigonométricas discretas, as quais, no presente contexto, se referem às transformadas discretas do cosseno e do seno dos tipos I e IV, e à transformada discreta de Hartley; dado um autovetor de uma dessas transformadas, associado a certo autovalor, mostra-se como obter uma matriz que, ao ser multiplicada pelo referido autovetor, produz um novo autovetor, com autovalor possivelmente distinto do primeiro. São discutidos procedimentos para que, utilizando as metodologias propostas, sejam obtidas bases de autovetores. Essas bases são, então, empregadas na definição de versões fracionárias, multiordem e reais das transformadas correspondentes. Esquemas de cifragem de imagens baseados nas transformadas definidas são considerados e têm sua robustez avaliada de forma preliminar. Os resultados sugerem que os referidos esquemas preenchem alguns dos principais requisitos de segurança necessários à aplicabilidade em cenários práticos. Isso se deve, em parte, ao número de parâmetros livres envolvidos nos procedimentos introduzidos neste trabalho, que é maior que o de métodos similares encontrados na literatura.