O teorema de Hooley e a conjectura de Artin para raízes primitivas

Abstract

Desde que Artin formulou sua conjectura em 1927, muitos matemáticos tentaram demonstrá-la, mas não obtiveram um resultado significativo. Entretanto, em 1967 houve um avanço notório em torno da conjectura de Artin com o trabalho de Hooley. De fato, o teorema de Hooley foi o primeiro resultado de grande importância no que diz respeito à conjectura, fornecendo uma prova rigorosa para a mesma, assumindo a Hipótese de Riemann Generalizada para funções zeta de Dedekind de certos corpos de números. Temos por objetivo, neste trabalho, apresentar os detalhes da demonstração do teorema de Hooley. Detalharemos o raciocínio heurístico que levou Artin a formular a sua conjectura. Veremos que a relação com a Hipótese de Riemann aparece quando Hooley usa uma versão efetiva do teorema de Chebotarev, que também ´e um resultado de grande relevância em Teoria dos Números. Além disso, veremos também como o trabalho de Hooley tem relação com os métodos de crivos, demonstrando a famosa desigualdade de Brun-Titchmarsh via crivo de Selberg.