Técnicas de redução de ordem em fluxo em meio poroso transiente aplicadas em aquífero

Abstract

A modelagem e simulação são ferramentas preciosas na engenharia, permitindo a compreensão do funcionamento de muitos processos físicos do mundo real e consequentemente a previsão com precisão do que possa acontecer sob condições adversas de operação. Atualmente complexidade dos modelos matemáticos para retratar a realidade do mundo está cada vez maior, seja na engenharia, na medicina, nas previsões de clima e em várias outras áreas do conhecimento. Neste contexto, a redução de ordem está sendo cada vez mais utilizada nas resoluções de simulações em várias áreas da engenharia e da ciência. Os problemas atuais fazem uso de muito mais variáveis e algoritmos mais complexos que há pouco tempo atrás. Uma das soluções possíveis está na redução criteriosa dos modelos como estratégia para baratear o processamento e o custo computacional do problema em geral mantendo-se um nível de precisão aceitável para os resultados esperados do modelo de simulação. Alia-se a isso o grande aumento de poder de processamento dos computadores e a evolução de algoritmos numéricos nas soluções de sistemas lineares e não-lineares, que com o auxílio de técnicas como a de redução de ordem problemas que há poucas décadas não se sonhava em resolver hoje podem ser resolvidos de maneira rápida e precisa. Este trabalho abordará duas técnicas de redução de ordem aplicadas às equações diferenciais que descrevem o fenômeno de fluxo transiente em meios porosos. Essas técnicas serão comparadas com os métodos convencionais de simulação, a fim de demonstrar a eficácia das abordagens de redução de ordem no contexto do sistema físico em questão. Em todas as formulações apresentadas para os métodos propostos, optou-se por empregar o método dos elementos finitos para a discretização espacial das equações de fluxo. Os métodos empregados compreenderam o particionamento, baseado no método estático de Guyan, e a abordagem de superposição modal. Ambas essas técnicas demandaram uma adaptação cuidadosa para serem aplicadas ao sistema em análise. Além das adaptações exigidas para os métodos do trabalho, foram utilizadas manipulações matemáticas em ambos os métodos com o intuito de potencializar as reduções de ordem. Para o método de particionamento foi utilizado a concentração das massas para nós específicos das malhas, proporcionando, dessa maneira, uma maior redução de ordem, proporcionando assim impacto notável na melhoria do processamento e na eficiência geral do método. Para a abordagem do método de superposição modal, além da adaptação do método para se adequar ao escopo do trabalho, utilizou-se uma adaptação para aumentar a redução de ordem com a manipulação dos modos de autovalores. Como resultado, a ordem do sistema simulado foi ainda mais substancialmente reduzida, contribuindo para a otimização do processo. Através de derivativos matemáticos elaborados, alcançou-se algoritmos refinados, que foram então incorporados ao ambiente de programação MATLAB. Utilizando os métodos selecionados no trabalho e suas derivações devidamente testadas, utilizou-se de cenários fictícios para gerar os resultados. O primeiro teste foi desenvolvido par a aplicação envolvendo uma simulação de estaca prancha, uma situação comum nas intervenções da indústria da construção civil. Essa simulação foi realizada em um ambiente bidimensional (2D). À medida que avançamos na pesquisa do método de particionamento, optou-se por empregá-lo em um contexto tridimensional (3D), utilizando um aquífero como caso de teste. Essa escolha permitiu uma visualização mais precisa dos resultados do particionamento do domínio e a avaliação da sua continuidade ao longo do tempo de análise. Para explorar a técnica de superposição modal, selecionou-se um aquífero mais realista, incorporando uma camada de aquitardo com menor permeabilidade. Essa adição proporcionou maior desafio ao fluxo do fluido através das diferentes regiões do aquífero, provocando alterações no comportamento do sistema. Gerando resultados satisfatório para atender ao principal objetivo, que era a redução do custo computacional. Esse trabalho desempenha um papel fundamental ao disponibilizar ferramentas eficazes, implementados no software MATLAB, para a análise das modelagens propostas, oferecendo assim contribuições valiosas no campo em questão.