BLINK : a language to view; Recognize; Classify and manipulate 3D-spaces

Abstract

Um blink é um grafo plano onde cada aresta ou é vermelha ou é verde. Um espaço 3D ou, simplesmente, um espaço é uma variedade 3-dimensional conexa, fechada e orientada. Neste trabalho exploramos pela primeira vez em maiores detalhes o fato de que todo blink induz um espaço e todo espaço é induzido por algum blink (na verdade por infinitos blinks). Qual o espaço de um triângulo verde? E de um quadrado vermelho? São iguais? Estas perguntas foram condensadas numa pergunta cuja busca pela resposta guiou em grande parte o trabalho desenvolvido: quais são todos os espaços induzidos por blinks pequenos (poucas arestas)? Nesta busca lançamos mão de um conjunto de ferramentas conhecidas: os blackboard framed links (BFL), os grupos de homologia, o invariante quântico de Witten-Reshetikhin-Turaev, as 3-gems e sua teoria de simplificação. Combinamos a estas ferramentas uma teoria nova de decomposição/composição de blinks e, com isso, conseguimos identificar todos os espaços induzidos por blinks de até 9 arestas (ou BFLs de até 9 cruzamentos). Além disso, o nosso esforço resultou também num programa interativo de computador chamado BLINK. Esperamos que ele se mostre útil no estudo de espaços e, em particular, na descoberta de novos invariantes que complementem o invariante quântico resolvendo as duas incertezas deixadas em aberto neste trabalho