Vortex motion around a circular cylinder both in an unbounded domain and near a plane boundary

Abstract

Nessa disserta ̧c ̃ao estudamos a dinˆamica de v ́ortices pr ́oximos a fronteiras s ́olidas emum fluido ideal, atrav ́es do modelo de v ́ortices puntiformes. Obtivemos as configura ̧c ̃oesestacion ́arias de v ́ortices na presen ̧ca de um cilindro circular colocado em um escoamentouniforme e investigamos suas propriedades de estabilidadesob pequenas perturba ̧c ̃oes.Dois sistemas distintos foram estudados. Consideramos inicialmente o caso cl ́assico deum cilindro circular colocado em um escoamento uniforme ilimitado. Nesse caso, comose sabe, um par de v ́ortices com sentidos opostos ́e observado na esteira do cilindro, paran ́umeros de Reynolds at ́e cerca de 50, ao passo que para n ́umeros de Reynolds maiores,essa configura ̧c ̃ao torna-se inst ́avel dando lugar `a emiss ̃ao alternada de v ́ortices. Estesistema foi tratado analiticamente pela primeira vez, atrav ́es de um modelo de v ́orticespuntiformes, por F ̈oppl em 1913. Na primeira parte dessa disserta ̧c ̃ao, o modelo deF ̈oppl ́e revisto e v ́arias caracter ́ısticas novas desse sistema s ̃ao apresentadas, incluindoa existˆencia de um ponto de sela nilpotente no infinito, at ́eent ̃ao n ̃ao percebido, cujas ́orbitas homocl ́ınicas definem a regi ̃ao de estabilidade n ̃ao-linear do chamado equil ́ıbrio deF ̈oppl. Al ́em disso, estudamos tamb ́em a dinˆamica n ̃ao-linear resultante de perturba ̧c ̃oesanti-sim ́etricas do equil ́ıbrio de F ̈oppl e discutimos suarelevˆancia para a emiss ̃ao alternadade v ́ortices. Na segunda parte, consideramos o movimento de um v ́ortice em torno deum cilindro circular colocado acima de uma parede plana infinita. Em experimentos comesse arranjo, um v ́ortice estacion ́ario ́e observado na frente do cilindro, uma situa ̧c ̃ao quen ̃ao ́e encontrada no caso cl ́assico (i.e., sem o plano). Para estudar a dinˆamica de v ́orticesnessa situa ̧c ̃ao, a regi ̃ao do fluido ́e inicialmente mapeada em um anel em um planocomplexo auxiliar, e o potencial complexo correspondente ́e ent ̃ao obtido em termos dachamada fun ̧c ̃ao prima de Schottky-Klein, que neste caso pode ser escrita em termos defun ̧c ̃oes el ́ıpticas. As configura ̧c ̃oes estacion ́arias s ̃ao ent ̃ao calculadas e suas propriedadesde estabilidade s ̃ao determinadas. Discutimos tamb ́em, como as solu ̧c ̃oes do modelo dev ́ortice puntiforme podem ajudar a explicar as observa ̧c ̃oes experimentais envolvendo aforma ̧c ̃ao de v ́ortices na frente de um cilindro colocado pr ́oximo a um plano.