Teoria de persistência e de matrizes irredutíveis: aplicações em epidemiologia

Abstract

O objetivo deste trabalho é fornecer uma Introdução à Teoria Matemática da Persistência (fraca e forte) e exibir algumas de suas aplicações em Epidemiologia. Aplicamos essa Teoria em duas ocasiões: na primeira estudamos um modelo SI para uma doença que reduz fertilidade. O modelo é simples, mas nos permite visualizar como podemos fazer para provar primeiro a persistência fraca e então usar resultados auxiliares para garantir a persistência forte. Por outro lado, na segunda analisamos um modelo SEIRS em uma população dividida em compartimentos, que podem ser interpretados como vários bairros de uma cidade, por exemplo. Para facilitar a abordagem nesse caso, apresentamos ainda uma introdução à Análise Matricial de matrizes irredutíveis, quase positivas e o Teorema de Perron-Frobenius, uma poderosa ferramenta em diversas áreas, que garante que esses tipos de matrizes possuem um autovalor e um autovetor especiais em um certo sentido. Exibimos também uma introdução aos Sistemas Dinâmicos, mais especificamente a Teoria de Semifluxos, que nos fornece uma base sólida para os resultados posteriores ao longo de todo o texto.