Estudos da entropia de Shannon em buscas aleatórias unidimensionais

Abstract

Neste trabalho realizamos um estudo do comportamento da entropia de Shannon associada ao problema do caminhante aleatório unidimensional em busca por sítios-alvo cuja localização é desconhecida (problema da busca aleatória ou (random search). Um de nossos principais objetivos foi investigar se o mecanismo que rege a maximização da eficiência da busca em situações específicas e para determinadas distribuições de tamanhos de passos implica diretamente em uma possível extremização (maximização ou minimização) da entropia de Shannon associada. Nós estudamos três das principais quantidades (eficiência, probabilidades do caminhante encontrar cada sítio-alvo e a entropia de Shannon) relevantes ao problema da busca aleatória. Utilizando técnicas e conceitos da Física Estatística conseguimos abordar e modelar o problema da busca aleatória, sendo a nossa principal fonte de inspiração o problema ecológico da busca de alimentos por diversas espécies deanimais (problema do foraging). Realizamos a análise descrita para três distribuições de probabilidades de tamanhos de passos do buscador: distribuição do tipo lei de potência / Lévy e as distribuições hiperexponenciais simples e dupla. Obtivemos uma expressão analítica para a distância média percorrida entre dois encontros sucessivos e para a eficiência da busca. Calculamos também as probabilidades do buscador encontrar os sítios-alvo em uma dimensão, as quais permitem obter a entropia de Shannon associada ao problema da busca. Analisamos ambos os casos de buscas não-destrutivas, em que um dos sítios-alvo encontra-se inicialmente próximo ao buscador, e buscas destrutivas, em que ambos os sítios encontram-se distantes do ponto de partida da busca. Concluímos que o mecanismo que maximiza a eficiência da busca não-destrutiva de Lévy e da exponencial dupla não impacta a entropia de Shannon associada, a qual apresenta um comportamento monotônico (sem nenhum extremo, seja máximo ou mínimo) mesmo quando a eficiência atinge um máximo. Além disso, encontramos que a distribuição de passos do tipo exponencial dupla pode ser mais eficiente do que a distribuição de Lévy em determinados contextos das buscas não-destrutivas, confirmando resultados previamente publicados.