Abordagem do espaço de Fock para caminhadas aleatórias de Lévy em um intervalo unidimensional : tempo médio de primeira passagem e probabilidades de absorção

Abstract

Estudamos o problema de uma partícula em movimento aleatório com distribuição de tamanhos de saltos do tipo α-estável de Lévy em um domínio finito unidimen- sional com limites absorventes, utilizando o formalismo do espaço de Fock. Nessa abordagem, a equação mestra é descrita na forma de uma equação de Schro ̈dinger de valor real com um operador Hamiltoniano relacionado às probabilidades de transição, definidas pelos comprimentos dos saltos. Apresentamos um estudo de quantidades estatísticas importantes para esse problema em função dos autovalores e autovetores do Hamiltoniano, do índice de estabilidade α de Lévy, da posição inicial da partícula e do tempo. Aplicamos esse formalismo em um espaço finito discreto e no limite do espaço contínuo. Para ambos os casos, calculamos as taxas de sobrevivência S(t) e as probabi- lidades de absorção P0(t) e PN(t) pelas fronteiras, ambos os resultados em função do tempo. Em particular, mostramos os diferentes comportamentos dinâmicos de S(t), que inicialmente é regido por uma lei de potência no tempo (S(t) ∼ t−γ), obedecendo o teorema de Sparre-Andersen (para domínios semi-infinitos), e a longo prazo é ditado por um decaimento exponencial (S(t) ∼ e−λt). Conseguimos ilustrar essa mudança de comportamento dinâmico para alguns valores do índice α. Para o caso do espaço discreto, a abordagem de Fock teve uma excelente concordância com os resultados das simulações numéricas de Monte Carlo. Já para o limite do espaço contínuo, mostramos que o formalismo de Fock vai se ajustando melhor com as curvas numéricas conforme aumentamos o comprimento dos passos (diminuímos α) e aumentamos o intervalo de tempo considerado. Por fim, estudamos o tempo médio de primeira passagem e o comportamento assintótico das probabilidades de absorção pelas fronteiras em função da posição inicial e do índice de estabilidade α. Esse comportamento assintótico é alcan- çado com precisão no formalismo de Fock. Além disso, ao considerar o limite do espaço contínuo, nossos resultados apresentam concordância muito boa com a expressão ana- lítica exata para uma partícula com distribuição de saltos de Lévy no espaço finito contínuo. Esses últimos resultados são relevantes para uma série de contextos práticos, como forrageamento animal e transmissão de luz em meios de dispersão aleatória, e nossas descobertas podem ser úteis para a melhor compreensão desses sistemas.