O grupo simplético na estabilidade de Gelfand-Lidskii

Abstract

Este trabalho tem como objetivo estudar o papel que o grupo simplético desempenha no estudo dos sistemas Hamiltonianos periódicos lineares fortemente estáveis. Para isso, iremos fazer uso de ideias desenvolvidas por Krein, Gelfand e Lidskii no século passado e recentemente trabalhadas sob um novo ponto de vista na referência [1]. Iremos identificar um sistema Hamiltoniano linear periódico fortemente estável x ̇ = A(t)x com a sua matriz A(t) que chamaremos de matriz fortemente estável. Relacionaremos a este sistema o índice de Gelfand- Lidskii n(A), que será a classe de homotopia do caminho fechado Q(t) no grupo fundamental do grupo simplético, onde Q(t) é a matriz periódica numa decomposição de Floquet X(t) = Q(t)etB do matrizante da equação x ̇ = A(t)x. Diremos que duas matrizes fortemente estáveis A1(t) e A2(t) estão no mesmo domínio de estabilidade se existir uma homotopia ligando ambas de modo que cada elemento da homotopia também seja uma matriz fortemente estável. O índice de Gelfand-Lidskii nos dará uma maneira de classificar os domínios de estabilidade.