Estabilidade linear de equilíbrios relativos formados por dois triângulos equiláteros

Abstract

O objetivo deste trabalho é fazer uma análise da estabilidade linear de equilíbrios relativos formados por dois triângulos equiláteros. Esses tipos de equilíbrios relativos são divididos em dois casos: triângulos equiláteros concêntricos homotéticos e triângulos equiláteros concêntri- cos onde um é a rotação de 2π3 do outro. Mais especificamente, temos os primeiros três corpos fixos nos vértices de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 1 e que possuem massas iguais a 1. As posições dos outros três corpos estão fixas nos vértices do outro triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de raio r de mesmo centro e com massas iguais a m. Obtemos equações que fornecem os valores da massa m em função do raio r e, através de mudanças de variáveis adequadas e da utilização da técnica de Vincent, conhecemos os intervalos onde temos equilíbrios relativos. Munidos destes resultados prelimi- nares, utilizamos a técnica onde se deduz a fatoração do polinômio de estabilidade de cada um dos casos. Essa técnica é uma aplicação da teoria de representação de grupos e é usada para obter fórmulas explícitas para os autovalores dos equilíbrios relativos que, juntamente com condições para a estabilidade e a técnica de Vincent, permite obter conclusões significativas sobre a estabilidade linear de cada problema. No caso dos triângulos equiláteros concêntricos homotéticos, conseguimos concluir a instabilidade dos equilíbrios relativos para qualquer valor de r onde a massa m > 0. No caso dos dois triângulos equiláteros concêntricos rotacionados, concluímos a instabilidade dos equilíbrios relativos para qualquer valor de r onde m > 0, ex- ceto em dois pequenos intervalos, onde nada conseguimos concluir a respeito da estabilidade linear.