Finitude genérica para configurações centrais de Dziobek

Abstract

Neste trabalho demonstraremos a finitude genérica para configurações centrais de Dziobek associadas a um potencial semi-inteiro. Mais exatamente, existe um aberto de Zariski no espaço euclidiano n-dimensional, tal que para todo vetor de massas m neste aberto, corresponde uma quantidade finita, a menos de isometrias, de configurações centrais com dimensão n − 2. A análise é restrita ao caso de forças que dependem das distâncias mútuas elevadas a um expoente semi-inteiro, possibilitando utilizar métodos da Geometria Algébrica. Para este fim, determinamos equações polinomiais cujos zeros estão relacionados com as chamadas configurações de Dziobek. Assim construímos uma variedade quase-afim definida por esses polinômios e calculamos sua dimensão utilizando os espaços tangentes e a matriz Jacobiana. Aplicando o Teorema da Dimensão das Fibras, encontramos o aberto de Zariski desejado. Por fim, existe uma cota superior para estas quantidades finitas de classes de configurações centrais que independe da escolha genérica das massas. Chegamos a esta cota utilizando resultados topológicos para a quantidade de componentes conexas da variedade afim obtida.