Sistemas Integráveis

Abstract

O principal objetivo deste trabalho e apresentar a teoria dos Sistemas Hamiltonianos Integráveis e aplicá-lo ao estudo de dois problemas básicos que servem como introdução à literatura geral. São eles, o fluxo geodésico no elipsóide e o problema mecânico de Neumann. Alem disso, veremos que H.Knöer, usando a aplicação de Gauss do elipsóide na esfera unitária, mostrou que existe uma equivalência entre os dois problemas mecânicos. Usamos como principais referencias os textos [1], [2], [6], [7] e [8]. A tese e organizada da seguinte forma: No capítulo 1 apresentaremos alguns conceitos básicos de mecânica hamiltoniana e lagrangeana sobre uma variedade e mostraremos a correspondência que existe entre sistemas mecânicos hamiltonianos e lagrangeanos. A seguir estudaremos um pouco de princípio variacional e da teoria clássica dos sistemas hamiltonianos integráveis através do estudo das funções geradoras e da teoria de Hamilton- Jacobi. No capítulo 2, estudaremos um pouco da teoria dos grupos de Lie que são de suma importância no estudo de sistemas hamiltonianos com simetria e apresentaremos uma maneira de construir integrais de movimento para um sistema hamiltoniano através da aplicacao momento. No capítulo 3, daremos algumas definições básicas sobre a teoria geométrica dos sistemas hamiltonianos integráveis e demonstraremos um dos resultados mais importantes dessa teoria, o teorema de Arnold-Liouville que caracteriza o espaço de fases de um sistema integrável. No capítulo 4, aplicamos a teoria dos sistemas hamiltonianos integráveis ao estudo do fluxo geodésico no elipsóide e do problema mecânico de Neumann