O diagrama de raízes de certos códigos AG

Abstract

Os códigos algébricos geométricos (abreviando, códigos AG) foram estudados pela primeira vez por Goppa, em [9] e em [10]. A importância dos códigos AG surgiu posteriormente. De fato, Tsfasman, Vladuts e Zink, em [21], encontraram uma família de códigos AG cujos parâmetros limites ultrapassavam o limite de Gilbert-Varshamov, que era alcançado com códigos casuais. Alguns anos depois, Garcia e Stichtenoth melhoraram as construções envolvidas, em [7]. Heegard, Little e Saints introduziram, em [13], um algoritmo de codificação para uma classe de códigos AG por meio de bases de Gröbner. Tal algoritmo é mais compacto comparado ao algoritmo de codificação usual via matriz geradora. Sabendo da complexidade de se encontrar uma base de Gröbner, Heegard, Little e Saints, em [14], introduziram o conceito de diagrama de raízes, o qual permite a construção de um algoritmo que constrói uma base de Gröbner para códigos pontuais sobre a curva Hermitiana, com uma complexidade menor do que o algoritmo de Buchberger. Portanto, esta tese tem o objetivo de construir o diagrama de raízes sobre os códigos algébricos geométricos pontuais, definidos sobre os modelos planos da curva de Kondo e de alguns quocientes da curva Hermitiana.