Geometria e dinâmica em sistemas hamiltonianos clássicos e quânticos

Abstract

Na primeira parte desse trabalho, apresentamos a dinâmica do modelo XY de campo médio na presença do campo magnético utilizando métodos de geometria Riemanniana. Para tal fim, calculamos quantidades geométricas, como curvatura de Ricci e suas flutuações, com o intuito de estimarmos analiticamente, sob certas hipóteses, o maior expoente de Lyapunov do sistema no limite termodinâmico. Para soluções estáveis, as quantidades geométricas e o expoente de Lyapunov apresentam comportamentos compatíveis com os resultados de equilíbrio para a densidade Jacobiana de pontos críticos em concordância com a não existência da transição de fase [47]. No estado metaestável encontramos um rico cenário dinâmico, onde o expoente de Lyapunov apresenta o fenômeno de reentrância para campos suficientemente pequenos. Em ambos os estados o sistema prediz um possível comportamento caótico. Numericamente, as quantidades geométricas e o expoente de Lyapunov também são obtidas e qualitativamente apresentam boa concordância com os resultados analíticos. Na segunda parte, uma construção fenomenológica das equações para dinâmica quântica de Langevin, baseada nos critérios físicos de: (i) comutadores canônicos de tempo igual, (ii) a fórmula de Kubo, (iii) o teorema do virial e (iv) o teorema da flutuação-dissipação quântico, é apresentada. O caso do oscilador harmônico acoplado unidimensional a um banho externo é analisado em detalhes. Isso permite distinguir uma abordagem semi-clássica markoviana, conforme a Bedeaux e Mazur, de uma abordagem totalmente quântica não-markoviana, apresentada por Ford, Kac e Mazur. O teorema de flutuação-dissipação quântica é visto como incompatível com uma dinâmica markoviana. Finalmente, possíveis aplicações para o modelo esférico quântico são discutidas.