Novos paradigmas para o processo de Stavskaya

Abstract

O processo de Stavskaya, o qual denotaremos Stav por simplicidade, é uma versão a tempo discreto do conhecido processo de contato. Neste trabalho, revisitamos o processo de Stavskaya com comprimento variável, um sistema de partículas interagentes unidimensional que difere dos tradicionalmente estudados. Nele, as partículas podem aparecer ou desaparecer durante a evolução do sistema. Neste sistema, cada partícula assume estado mais ou menos e evolui da seguinte forma: entre duas partículas vizinhas, nasce uma partícula no estado mais com probabilidade β, independente do que ocorre nos outros lugares. Sempre que uma partícula no estado mais é a vizinha mais próxima à direita de uma partícula no estado menos, então este mais desaparece com probabilidade α. Diferente de Stav, foi mostrado que esta versão variável não apresenta o mesmo tipo de transição de fase. Mais especificamente, o processo variável sempre converge para a mesma delta medida (ergódico), independente dos parâmetros fixados. Em nosso estudo, estabelecemos e analisamos a existência de um outro tipo de transição de fase, além de termos explorado outros aspectos da sua dinâmica. No processo de Stavskaya clássico, em cada passo de tempo, dois operadores atuam: o primeiro determinístico, D, seguido por um aleatório. Tomamos um processo de difusão, descrito por uma equação diferencial parcial. Mostramos que sua equação de diferença finita, a qual denotamos por Difus, é levada via ultradiscretização em D. Motivados por essa correspondência, definimos o processo de Stavskaya de difusão, denotada PSD por simplicidade. Assim como o Stav, o PSD evolui em tempo discreto, da seguinte forma: Em cada passo de tempo discreto, dois operadores atuam, primeiro Difus seguido de um outro aleatório, Aα. Diferente de Stav, cada partícula do PSD assume valor num conjunto não enumerável. Mais especificamente, ele atua no conjunto de medidas de probabilidade em [1,∞) Z. Verificamos se o processo PSD e Stav são qualitativamente equivalentes, por exemplo, se há uma transição de fase e se propriedades, como: monotonicidade e linearidade são mantidas. Em adição, desenvolvemos, para o processo de Stavskaya e para o PSD, alguns estudos numéricos.