Dinâmica de pêndulos de Huygens

Abstract

Caos transiente devido à fraca dissipação em sistemas dinâmicos hamiltonianos vem sendo estudado visando a compreensão de muitos sistemas naturais na física, biologia, economia e astronomia. Nesta dissertação apresentaremos um estudo de osciladores acoplados na confi- guração de pêndulos com seus eixos fixos a uma estrutura rígida e livre para mover-se ho- rizontalmente. Nomeamos este conjunto de osciladores de pêndulos de Huygens, motivados pelo sistema de relógios originalmente descrito por Christiaan Huygens no século XVII, onde ele observou pela primeira vez o fenômeno de sincronização. Avaliamos então a dinâmica a partir de condições iniciais com altas velocidades angulares nos pêndulos, também considera- mos os efeitos dissipativos de atrito. Ao realizar esta evolução no tempo percebemos que o sistema apresenta instabilidades devido à tendência de sincronização dos pêndulos entre si. Es- tas instabilidades apresentam-se na forma de bifurcações com regiões de quasi-periodicidade transiente assim como de caos transiente. Os cálculos numéricos são realizados seguindo a trajetória do sistema para analisar o papel das dissipações nestas instabilidades, assim como procuramos entender como o parâmetro de acoplamento dos pêndulos afeta os comportamen- tos observados. Calculamos numericamente o máximo expoente de Lyapunov de tempo finito ao longo de trajetórias típicas. Vemos que é possível obter valores positivos para algumas das regiões observadas, servindo de forte indicativo de caos nestas regiões, em particular o tipo de caos denominado de duplamente transiente. Nossas escolhas de parâmetros para as equações tratadas numericamente foram feitas baseadas em observações qualitativas de um sistema experimental montado em laboratório.