Novel and faster ways for solving semi-markov processes: mathematical and numerical issues

Abstract

Processos semi-Markovianos (SMP) contínuos no tempo são importantes ferramentas estocásticas para modelagem de métricas de confiabilidade ao longo do tempo para sistemas para os quais o comportamento futuro depende dos estados presente e seguinte assim como do tempo de residência. O método clássico para resolver as probabilidades intervalares de transição de SMP consiste em aplicar diretamente um método geral de quadratura às equações integrais. Entretanto, esta técnica possui um esforço computacional considerável, isto é, N2 equações integrais conjugadas devem ser resolvidas, onde N é o número de estados. Portanto, esta tese propõe tratamentos matemáticos e numéricos mais eficientes para SMP. O primeiro método, o qual é denominado 2N-, é baseado em densidades de frequência de transição e métodos gerais de quadratura. Basicamente, o método 2N consiste em resolver N equações integrais conjugadas e N integrais diretas. Outro método proposto, chamado Lap-, é baseado na aplicação de transformadas de Laplace as quais são invertidas por um método de quadratura Gaussiana, chamado Gauss Legendre, para obter as probabilidades de estado no domínio do tempo. Formulação matemática destes métodos assim como descrições de seus tratamentos numéricos, incluindo questões de exatidão e tempo para convergência, são desenvolvidas e fornecidas com detalhes. A efetividade dos novos desenvolvimentos 2N- e Lap- serão comparados contra os resultados fornecidos pelo método clássico por meio de exemplos no contexto de engenharia de confiabilidade. A partir destes exemplos, é mostrado que os métodos 2N- e Lap- são significantemente menos custosos e têm acurácia comparável ao método clássico