Operadores de percolação em Z : limites mais precisos para o valor crítico e existência de distribuição invariante

Abstract

Neste trabalho, investigamos a teoria de Processos Estoc ́asticos com Intera ̧c ̃ao Local em tempo discreto, conhecidos como Autˆomatos Celulares Probabil ́ısticos (ACP). Exploramos uma classe de ACP, a qual ́e conhecida por operadores de percola ̧c ̃ao. O Processo de Stavs- kaya ́e um dos exemplo mais simples de operador de percola ̧c ̃ao. Essa classe de operadores apresenta o fenˆomeno de transi ̧c ̃ao de fase entre os comportamentos de ergodicidade e n ̃ao- ergodicidade, o qual ́e fun ̧c ̃ao de um parˆametro α ∈ [0, 1]. A fim de obter melhores estimativas para os limites inferior e superior para o valor cr ́ıtico, α∗, que delimita os comportamentos de ergodicidade versus n ̃ao-ergodicidade, estabelecemos e aplicamos novas metodologias, a qual nos forneceram novos limites, melhorando resultados previamente conhecidos na litera- tura. O limite inferior obtido foi 0, 113 de modo que quando α < 0, 113, o sistema tem um comportamento n ̃ao-erg ́odico, tal estimativa foi alcan ̧cada fazendo uso do conceito de matriz de adjacˆencia para quantificar o n ́umero de caminhos do grafo associado a evolu ̧c ̃ao de nosso processo. Por outro lado, o limite superior obtido foi αn < (n−1)/(n+1). Para obter este re- sultado, mostramos que αn depende somente do n ́umero de vizinhos n, n ̃ao de suas posi ̧c ̃oes, de modo que quando α > αn o sistema tem comportamento erg ́odico. Destacamos ainda que a no ̧c ̃ao de monotonicidade para estes operadores, nos permitiu estabelecer condi ̧c ̃oes para a existˆencia de medidas invariantes n ̃ao triviais. Al ́em disso, realizamos an ́alises num ́ericas, utilizando a aproxima ̧c ̃ao de campo m ́edio, e modelagem computacional para estimar α∗.