Modelos hierárquicos para a densidade espectral de sistemas complexos

Abstract

Nesta dissertação nós apresentamos um formalismo para descrever a densidade espectral de sistemas complexos que exibem múltiplas escalas de tempo. Nesse formalismo, consideramos que o sistema evolui no tempo através de uma sequência de pulsos exponenciais, onde a taxa de relaxação não é constante mas varia de forma aleatória de pulso para pulso com uma distribuição de probabilidade apropriada. Como as relaxações são exponenciais, a densidade espectral do sinal condicional a uma dado valor da taxa de relaxação é descrita por uma curva lorentziana com uma largura de linha definida pela taxa de relaxação. A densidade espectral final é obtida fazendo-se a superposição das curvas lorentzianas, ponderada pela distribuição da taxa de relaxação. A distribuição de probabilidade da taxa de relaxação é calculada a partir de modelos dinâmicos estocásticos hierárquicos. Vários modelos hierárquicos foram considerados na dissertação, entre os quais os modelos das chamadas classes gama, gama inversa, beta e beta inversa, que admitem uma solução analítica em termos das funções G de Meijer. Consideramos também dois modelos descritos por processos de Ornstein-Uhlenbeck duplamente hierárquicos, cuja solução pode ser escrita em termos das funções H de Fox. Os diferentes modelos para a densidade espectral foram comparados com dados experimentais de um sistema físico real. O experimento analisado na dissertação é o problema da invasão por um fluido viscoso de um meio poroso formado por uma célula de Hele-Shaw preenchida com pequenas esferas de vidro. Inicialmente preenche-se a célula com um líquido viscoso, com a extremidade esquerda da célula aberta para a atmosfera, permitindo a entrada de ar, e a da direita ligada a um recipiente que acumula o líquido retirado. O escoamento do líquido dá-se então através de pequenos movimentos bruscos (“bursts”), om uma consequente queda de pressão na extremidade de saída, seguida de relaxamento exponencial para a pressão atmosférica. A densidade espectral da série temporal das pressões foi calculada e comparada com as previsões teóricas dos diversos modelos. Entre os modelos descritos pela função G de Meijer, as classes gama e gama inversa mostraram-se mais próximas dos valores experimentais em comparação com as beta e beta inversa. Também vimos que os modelos de Ornstein-Uhlenback duplamente hierárquicos apresentam uma densidade espectral similar à observada experimentalmente. Uma análise mais refinada faz-se agora necessária para decidir qual o melhor modelo entre aqueles que se mostraram bons candidatos para descrever o sistema experimental.